Connexité de \(E\)
Les seuls ensembles à la fois Ouverts et Fermés de \(E\) sont \(\varnothing\) et \(E\).
On ne peut pas partitionner \(E\) en deux Ouverts (ou deux Fermés) disjoints non vides.

• \(F\subset E\) est connexe si c'est vrai pour la Topologie induite
• les connexe par arc sont connexes
• les connexes de \({\Bbb R}\) sont les intervalles
• la connexité est stable par (1) image par une fonction continue, (2) par union si l'intersection est non vide, et (3) par passage à l'Adhérence
• caractérisation : toute application continue \(f:E\to\{0,1\}\) muni de la Topologie discrète est constante
• si \(A\subset E\) est connexe et que \(E=U\sqcup V\), avec \(U,V\) ouverts, alors \(A\subset U\) ou \(A\subset V\)
• si \(A\subset E\) est connexe et \(B\subset E\), et si \(A\subset B\subset\overline A\), alors \(B\) est connexe

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple de connexe qui n'est pas connexe par arc.
Verso: On prend : $$f:\begin{align}]0,1]&\longrightarrow{\Bbb R}\\ x&\longmapsto\sin\left(\frac1x\right).\end{align}$$
Et on note \(\Gamma\) me graphe de \(f\) dans \({\Bbb R}^2\).
\(\overline\Gamma\) est connexe, mais pas connexe par arc.
Bonus: Le problème vient du fait que la courbe possède une longueur infinie en se rapprochant de \((0,0)\), et donc si un arc existait il devrait avoir une longueur infinie.
END