Définition
Définition de la connexité :
- soit \((E,\tau)\) un espace topologique
- les seuls ensembles qui sont ouverts et fermés de \(E\) sont \(\varnothing\) et \(E\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(E\) est connexe
- \(F\subset E\) est connexe si c'est vrai pour la topologie induite
(
Ouvert,
Fermé)
Remarque :
La déf de connexité est équivalente à dire que l'on ne peut pas partitionner \(E\) en deux ouverts disjoints non vides
Propriétés
Connexité par arc
Connexité par arc
Dans les réels
Proposition :
Les connexes de \({\Bbb R}\) sont les intervalles
(
Intervalle)
Image par une application continue
Proposition :
L'imaged'un connexe par une application continue est un connexe
(
Continuité (topologie))
Caractérisation
Caractérisation de la connexité :
- soit \(E\) un espace topologique
- toute application continue \(f:E\to\{0,1\}\) (muni de la topologie discrète) est constante
$$\Huge\iff$$
\(\longrightarrow\) démonstration en exercice
Caractérisation d'un ensemble non connexe :
- soit \(A\) un ensemble
- \(A=O_1\sqcup O_2\) deux ouverts disjoints
$$\Huge\iff$$
Dans une union disjointe d'ouverts
Connexité dans une union disjointe d'ouverts :
- soit \(A\) un connexe de \(E\)
- \(E=U\cup V\) avec \(U,V\) ouverts disjoints
$$\Huge\iff$$
- \(A\subset U\) ou \(A\subset V\)
\(\longrightarrow\) démonstration en exercice
Réunion de connexes
Réunion de connexes :
- soit \((A_i)_{i\in I}\) une famille de connexes
- \(\displaystyle\bigcap_{i\in I}A_i\ne\varnothing\)
$$\Huge\iff$$
- \(\displaystyle\bigcup_{i\in I}A_i\) est connexe
Composante connexe
Composante connexe
Lien avec l'adhérence
Lien entre connexité et adhérence :
- soit \(A\) connexe
- soit \(B\subset E\)
- \(A\subset B\subset\overline A\)
$$\Huge\iff$$
Corollaire du lien entre connexité et adhérence :
- soit \(A\subset E\)
- \(A\) est connexe
$$\Huge\iff$$
- \(\overline A\) est connexe
Exemples
Exemple :
\({\Bbb R}^n\) est connexe